Die Visualisierungen auf dieser Seite basieren auf Monte-Carlo-Simulationen, die in Python implementiert wurden. Dabei werden historische Jahresrenditen des US-Aktienmarktes seit 1930 verwendet. Für den Zeitraum vor Einführung des heutigen S&P 500 im Jahr 1957 werden historische Vorgängerindizes des S&P-Composite herangezogen. Auf dieser Basis werden mithilfe zufälliger Pfade (Random Sampling) zahlreiche mögliche zukünftige Portfolioentwicklungen simuliert. Die Renditen werden dabei mit Zurücklegen aus der historischen Verteilung gezogen (Bootstrap-Verfahren), sodass einzelne Jahresrenditen mehrfach in unterschiedlichen Simulationspfaden auftreten können. Insgesamt basieren alle Simulationen auf 5.000 zufällig erzeugten Entwicklungspfaden.
Der S&P 500 eignet sich dafür besonders gut, da er einen der ältesten, breitesten und liquidesten Aktienindizes der Welt darstellt und einen der längsten verfügbaren Datensätze für große US-Aktienunternehmen liefert.
Statt einer einzelnen Prognose entsteht so eine Verteilung möglicher Ergebnisse:
In orange ist ein zufälliger ausgewählter, möglicher Pfad (Realisierung) hervorgehoben.
Konkret passiert einfach folgendes um einen Pfad zu simulieren (hier nur bis fünf Jahre):
Wir nehmen zufällig „gezogene“ Renditen mit Zurücklegen aus der historischen Verteilung:
- 2014: +11,4%
- 2016: +9,5%
- 2017: +19,4%
- 2019: +28,9%
- 2008: −37,0%
Startkapital: 1.000 €
Multipliziert Jahr für Jahr:
Einsetzen:
Der Wert nach dem ersten Jahr beträgt 1.114 € (1.000 € · 1,114).
Endwert ≈ 1.182 €
Zum besseren Verständnis die arithmetische Durchschnittsrendite der fünf Jahre:
%
Das heißt aber nicht, dass das Vermögen mit durchschnittlich 6,44% wächst:
Das liegt daran, dass Renditen im geometrischen Kontext multiplikativ wirken. Negative Renditen haben dadurch einen asymmetrisch stärkeren Effekt auf das Endergebnis.
Beispielsweise ergibt eine Abfolge von +50% und −50% nicht null Rendite, sondern −25%.
Die Reihenfolge dieser beiden Renditen spielt für das Endergebnis in einem rein multiplikativen Modell keine Rolle.
Warum dieser Ansatz?
Finanzmärkte lassen sich nicht zuverlässig punktgenau vorhersagen.
Simulationen ermöglichen stattdessen:
- die Bandbreite möglicher Entwicklungen sichtbar zu machen
- Wahrscheinlichkeiten statt Einzelprognosen zu betrachten
- Extremereignisse innerhalb der historischen Datenstruktur abzubilden
- langfristige Risiken besser zu verstehen
Diese Ergebnisse sind keine Prognosen und keine exakten Wahrscheinlichkeiten für die Zukunft, sondern Modellresultate unter der Annahme, dass historische Renditeverteilungen eine sinnvolle Approximation zukünftiger Unsicherheit darstellen.
Wie stark zukünftige Verluste ausfallen werden, kann niemand wissen. Wer jedoch investiert, sollte damit rechnen, dass Verluste in einer Größenordnung auftreten können, wie sie die Finanzmärkte in der Vergangenheit bereits mehrfach gezeigt haben. Die Simulationen machen diese historische Unsicherheit sichtbar, ohne den Anspruch zu erheben, die Zukunft vorherzusagen. Historische Extremereignisse stellen dabei keine Obergrenze für zukünftige Marktbewegungen dar.
Die Bandbreiten werden anhand ausgewählter Quantile der simulierten Ergebnisverteilung dargestellt:
95% (sehr günstig)
90% (günstig)
Median (typisch)
10% (ungünstig)
5% (sehr ungünstig)
Ein Quantil beschreibt einen Schwellenwert innerhalb einer Verteilung und gibt an, welcher Anteil der simulierten Ergebnisse darunter liegt.
Beispiel: Das 5%-Quantil bedeutet, dass 5% der simulierten Ergebnisse unterhalb dieses Wertes liegen und 95% darüber. Bei 5.000 Pfaden entspricht das etwa den 250 schwächsten Ergebnissen.
Um zu überprüfen, ob der Ansatz mit jährlichen historischen Renditen robuste Ergebnisse liefert, wurde er mit zwei alternativen Simulationsverfahren verglichen: einer Simulation auf Basis täglicher Renditen sowie einer Simulation, bei der die Verteilung der Jahresrenditen durch ein stratified Bootstrap-Verfahren approximiert wird. Dabei wird die historische Renditeverteilung in verschiedene Bereiche unterteilt und anschließend repräsentativ gezogen.
Im Rahmen dieses Vergleichs zeigen alle drei Ansätze ähnliche Größenordnungen hinsichtlich Streuung und Quantilsstruktur der simulierten Ergebnisverteilungen. Dies deutet darauf hin, dass die vereinfachte Modellierung auf Basis jährlicher Renditen die zentralen Eigenschaften der empirischen Verteilung hinreichend gut approximiert, zumindest für die hier betrachteten Fragestellungen.
Am Ende wird zur Veranschaulichung zusätzlich die gesamte historische Verteilung der S&P-500-Jahresrenditen seit 1930 dargestellt.
Orange markiert sind die Extrembereiche der Verteilung (unterhalb des 5%- und oberhalb des 95%-Quantils).